Orientaciones para docentes

Esta secuencia tiene como propósito resolver problemas que involucren figuras planas y cuerpos tridimensionales para conducir en su desarrollo al encuentro de regularidades. Para ello, las y los estudiantes trabajarán con situaciones en contexto extra e intra-matemático partiendo de presentaciones gráficas para generar distintos puntos de observación que las y los lleven a generalizaciones que expresan cómo cambia lo que cambia. En las primeras propuestas podrán realizar conteo, pero se pretende que avancen hacia el encuentro de regularidades. Finalmente, se presentarán modelizaciones algebraicas a partir de las cuales se espera que las y los estudiantes puedan realizar representaciones gráficas.

En las actividades 1 y 2 se presentan series con figuras planas en las cuales existe la posibilidad de realizar conteo, pero al avanzar con las consignas es necesario dejar la escritura numérica e ir hacia el registro de expresiones algebraicas que generalicen la situación. Además, se reconocerá equivalencia entre expresiones que representan un mismo valor de área.

En las actividades 3 y 4 se incluye el concepto de cuerpo mediante el análisis de objetos lúdicos. Los stickers y cubitos que forman parte de estos objetos se utilizan para calcular superficies laterales y volumen, con la finalidad de alcanzar generalizaciones.

En la actividad 5 se vuelve a trabajar con figuras pero en este caso utilizando unidades de medida de longitud, cuyos datos son números racionales. Finalmente, en la actividad 6 se presentan expresiones generales y se pretende que las y los estudiantes puedan realizar representaciones gráficas para cada una de ellas.

Las propuestas están orientadas a la intensificación de la enseñanza y al fortalecimiento de la lectura y la escritura en el área. Las y los docentes pueden adecuarlas de acuerdo a las necesidades de las y los estudiantes, a quienes les sugerirán que resuelvan las diferentes consignas en sus carpetas

Actividades para estudiantes

✍ Actividad 1

Buscando regularidades

Te presentamos tres figuras:

Vamos a tratar de analizar las diferencias y las características de las tres figuras.

¿Tienen algo en común las tres figuras? 

Observá la siguiente imagen:

 

Podríamos describirla visualizando el cuadrado del fondo y la figura negra, como un cuadrado grande al que se le restan 3 cuadraditos en cada vértice (esto se cumple para las tres figuras).

¿Te animás a pensar otras posibilidades? Por lo menos hay 4 más. Anotalas en tu carpeta.

Compará con tus compañeras y compañeros si encontraron otras posibilidades.

 

Ahora vamos a trabajar con la cantidad de cuadraditos.

¿Cuál es la cantidad total de cuadraditos de una figura de iguales características a las anteriores, cuando en su base hay 5 cuadraditos? Fijate que la primera figura tiene 1 cuadradito de base, la segunda 2 y la tercera 3. Si querés, podés dibujarlo.

Ahora calculemos el total de cuadraditos cuando la base es de 50 cuadraditos. Te sugerimos que anotes en tu carpeta los cálculos que realices para obtener el resultado.

¿Te animás a escribir una fórmula que permita calcular la cantidad total de cuadraditos para una figura de iguales características, pero de base de n cuadraditos?

Una forma puede ser…

Para saber cuántos cuadraditos hay en el cuadrado de lado n + 2 solo tenemos que calcular el área de ese cuadrado que sería:

(n + 2) · (n + 2) = (n + 2)²

(n + 2) · (n + 2) = (n + 2)²

Y ahora le tenemos que sumar los cuadraditos de los costados que serían 4 · n

Si sumamos nos queda:  (n + 2)² + 4 · n

 

a. ¿Cómo sería la ecuación para este caso? 

 

b. ¿Y en este caso?

 

c. ¿Y si lo pensamos así?

 

d. ¿Tienen diferencia las fórmulas halladas? Respondé en tu carpeta.

 

✍ Actividad 2

Ahora tenemos un cuadrado con el borde remarcado en negro y el interior dividido con líneas punteadas. Al interior de cada cuadrado, algunos cuadraditos tienen 1 lado negro, otros 2 lados negros y otros ninguno.

a. ¿Cuántos cuadraditos con 1 lado negro hay en cada figura? 

b. ¿Cuántos cuadraditos de 1 solo lado negro habría, si el lado del cuadrado tuviera 60 cuadraditos?

c. ¿Cuántos cuadraditos con 2 lados negros hay en cada figura? 

d. ¿Cuántos cuadraditos con 2 lados negros habría si el lado del cuadrado tuviera 60 cuadraditos?

e. ¿Cuántos cuadraditos sin ningún lado negro hay en cada figura?

f. ¿Cuántos habría si el lado del cuadrado tuviera 60 cuadraditos?

g. Pensemos una fórmula para calcular la cantidad de cuadraditos con 1 lado negro, otra para calcular la cantidad de cuadraditos con 2 lados negros, y otra para calcular la cantidad de cuadraditos si ningún lado negro pensando en una figura de n cuadraditos de borde. Para orientarte podrías construir una tabla en tu carpeta donde registres lo que vinimos realizando; te puede servir como organizador.

 

✍ Actividad 3

En la actividad 2 analizamos regularidades sobre figuras en el plano. Ahora queremos analizar regularidades similares sobre cuerpos, por eso te preguntamos: ¿Cuál es el comportamiento de nuestro análisis, pero con cuerpos?

Si no lo conocés, te presentamos el cubo de Rubik, más conocido como cubo mágico. Está considerado un juguete, pero no nació como tal. Su creador Ernő Rubik, seis años antes de que saliera al mercado, motivado en un problema de geometría, lo creó como una herramienta de enseñanza; quería hacerles ver, de una forma práctica, el movimiento tridimensional a sus estudiantes de Arquitectura de la Universidad de Budapest. Así fue que el cubo nació de un problema de geometría. Ernő Rubik jamás pensó que algún día llegarían a venderse más de 450 millones de rompecabezas en todo el mundo.

Ahora tenemos el cubo con cada cara con stickers del mismo color, compuesto a su vez por pequeños cubitos que en alguna de sus caras tiene el sticker de color; algunos tienen 1 sticker, otros 2 stickers, otros 3 stickers (como ven en la Figura 2, hay espacios internos que no tienen stickers).

Para organizar la información que estuvimos pensando en el párrafo anterior vamos a completar la siguiente tabla así calculamos cuántos stickers tenemos en cada caso. Como ejemplo, ya registramos algunos datos.

Imagen	Cantidad de cubitos con 1 sticker	Cantidad de cubitos con 2 stickers	Cantidad de cubitos con 3 stickers
	No tiene	No tiene	Los 8 cubitos de los vértices
			Los 8 cubitos de los vértices
Cubo con una cantidad n de cubitos por lado

 

a. ¿Cómo le explicarías a una persona que quiere saber cuántos stickers de colores tiene un cubo si no conocés cuál es la medida del lado?

b. ¿Te animás a escribir una fórmula que te permita calcular esos datos?

 

✍ Actividad 4

Seguimos analizando cuerpos

Si pensamos en la cantidad total de cubitos que tiene cada cubo mágico podrías calcular la cantidad de cubitos sin stickers en cada versión del juego. Para ellos organizamos una nueva tabla, de manera que puedas registrar en la misma los cálculos que realices.

Te damos una pista…

Si a la cantidad total de cubitos del juego le restamos los cubitos que tienen 1, 2 o 3 stickers, sabremos cuántos cubitos nos quedan sin stickers de color.

Imagen	Cantidad de cubitos sin stickers
Cubo con una cantidad n de cubitos por lado

 

a. ¿Cómo le explicarías a una persona que quiere saber cuántos cubitos sin stickers de colores tiene un juego si no conocés cuál es la medida del lado?

b. ¿Te animás a escribir una fórmula que te permita calcular esos datos?

 

✍ Actividad 5

Ahora vamos a trabajar con algunas medidas en las siguientes tres figuras. Las mismas tienen en común que están formadas por dos cuadrados adyacentes, y el lado del cuadrado más chico es 1 cm. menor que el lado del cuadrado más grande.

a. Calculá el perímetro de la figura de mayor tamaño. Escribí el procedimiento que utilizaste.

b. Ahora pensemos y calculemos el perímetro de una figura de las mismas características de las dadas, pero sabiendo que el lado del cuadrado más grande mide 34,5 cm y el lado del cuadrado más chico mide 33,5 cm.

c. Probemos con el perímetro de una figura de las mismas características, sabiendo que el lado del cuadrado menor mide 55,3 cm.

d. Escribí una fórmula que permita determinar el perímetro de las figuras que tengan estas mismas características, teniendo como datos el valor del lado del cuadrado más chico.

e. Ahora escribí una fórmula que permita calcular el perímetro de una figura de las características de las dadas, teniendo como dato el lado del cuadrado más grande.

 

✍ Actividad 6

Te seguimos desafiando

Si conocemos los segmentos cuyas medidas son a y b, podemos dibujar una figura compuesta por rectángulos y/o cuadrados cuya área sea:

Para realizar las representaciones pensemos que a < b (a es menor que b).

1. a.b + a²
2. a.b + b²  
3. (a + b)²
4.  a² + b²