Momentos de esta propuesta:

1. 1Curiosidades numéricas
2. 2 Diagramas que se expanden
3. 3Espirales
4. 4Grafos
5. 5Lectura de gráficos
6. 6Lugar geométrico

 

Grafos

El tema que trataremos tiene muchas aplicaciones en rutas aéreas, mapas de circulación entre ciudades y diseño de líneas de subterráneos y trenes.

Un grafo es un par ordenado que está formado por vértices y aristas.

A todo grafo se le asocia un par ordenado de números naturales (m; n) dónde m es el número de vértices y n es el número de aristas. G = (V, A)

El siguiente grafo está formado por 4 vértices y 4 aristas. G = (4; 4)

Los vértices de G son A, B, C y D. Del vértice A salen 3 aristas, por eso diremos que A es un vértice de orden 3; B es un vértice de orden 1 ya que de B sale solo una arista, C tiene orden 2 lo mismo que D.

Vértice	Orden
A	3
B	1
C	2
D	2

 

✍️| Actividad 1

a) Analizá el siguiente gráfico e indicá el orden de cada vértice:

b) ¿Cuál es el número de aristas?

c) ¿Cuál es la suma de los órdenes de todos los vértices?

d) ¿Qué relación hay entre el número de aristas y la suma de los órdenes?

e) ¿Por qué creés que ocurre esto?

 

✍️| Actividad 2

El grafo del ejemplo anterior determina cinco regiones (cuatro encerradas por las aristas y una exterior).

a) Indicá en cada uno de los siguientes grafos el número de vértices, el número de regiones y el número de aristas.

 

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b) ¿Qué relación hay entre el número de aristas y la suma de vértices y regiones en cada caso?

✍️| Actividad 3

Cada uno de los siguientes grafos pueden recorrerse de un solo trazo, es decir sin levantar el lápiz, pasando exactamente una vez por cada arista.

a) Verificá que lo expresado es verdadero.

b) ¿Qué diferencia encontraste al recorrer ambas figuras con respecto al punto de partida y al de llegada?

Si un grafo tiene todos sus vértices de orden par, el grafo puede recorrerse de un solo trazo partiendo de un vértice y llegando al mismo punto de partida. Estos grafos se llaman grafos eulerianos.

c) En los siguientes grafos, analizá cuáles son eulerianos, cuáles no, cuáles pueden recorrerse de un solo trazo y cuáles no. Fundamentá, en cada caso, las razones en función del orden de cada vértice.

Grafos coloreados

¿Cuántos colores son necesarios para pintar un mapa con cualquier cantidad de países de modo que regiones con límites en común no tengan el mismo color?

Recién en 1976 se pudo demostrar que es suficiente con cuatro colores, pero actualmente surgieron nuevos problemas sobre coloración que los matemáticos siguen investigando.

✍️| Actividad 1

a) Intenta pintar las regiones de los siguientes grafos con la menor cantidad de colores posible.

 

b) ¿Qué podés decir del orden de los vértices?

c) ¿Cuál es la mínima cantidad de colores con la que pueden pintarse los siguientes grafos?

Juegos topológicos con grafos

Juego del Drago

Este es un juego para dos participantes creado por el famoso matemático John Conway que murió en abril de 2020 por coronavirus. Despertó mucho interés tanto en jugadoras y jugadores como en estudiosas y estudiosos de los comportamientos de los grafos.

• Para jugar se dibujan varios puntos en una hoja.

• Comienza una jugadora o jugador trazando una línea uniendo dos puntos y marcando un nuevo punto sobre esa línea.

• La línea puede tener cualquier forma pero no puede cortarse a sí misma, ni cruzar a otra.

• De cada punto no pueden salir más de tres líneas (es decir que el mayor orden de un vértice es 3).

• Las jugadoras o jugadores dibujan curvas por turno y gana la última persona que es capaz de hacer un movimiento.

El siguiente es un ejemplo de un partido:

El siguiente es un ejemplo de la última jugada ya que todos los puntos son de orden 3, queda un punto aislado que no puede unirse con otro y no permite seguir jugando.

Cuando se trata de 3, 4 o 5 puntos hay estrategias ganadoras para quien comienza. Por ahora nadie ha encontrado la estrategia de la partida perfecta.

El juego además de ser entretenido, tiene interés matemático ya que permite generar estrategias. Se puede probar que el juego que comienza con n puntos terminará como máximo luego de 3n - 1 jugadas.

John Conway escribió siempre sobre la importancia de observar y descubrir regularidades en situaciones similares y en ayudar a las y los más jóvenes a disfrutar de los contenidos matemáticos, porque ellas y ellos son los encargados de hacer que se continúe en el progreso del conocimiento.

John Conway hizo importantes contribuciones en teoría de números, álgebra, geometría, topología, teoría de nudos, combinatoria, teoría de juegos y física teórica, entre otras, la siguiente serie es muy original ya que combina números con palabras:

Sucesión de Conway

La siguiente sucesión lleva el nombre de su creador y también es conocida como mire y diga o como apariencia-voz. Para describir cada número que sigue hace una descripción oral del número como se ve a continuación:

3, 13, 1113, 3113, 132113, 1113122113, 311311222113,…

3 se lee como "un 3" o 13

13 se lee como "un 1, un 3" o 1113

1113 se lee como "tres 1s, un 3" o 3113

3113 se lee como "un 3, dos 1s, un 3" o 132113

132113 se lee como "un 1, un 3, un 2, dos 1s, un 3" o 1113122113

✍️| Actividad 1

a) La siguiente es una secuencia de Conway que comienza con el número 1.

• 1 se lee como "un 1" o 11.

• 11 se lee como "dos 1s" o 21.

• 21 se lee como 1211.

• 1211 se lee como_______________

• 111221 se lee como______________

• ____________se lee como_____________

b) Escribí a continuación los primeros seis números de una secuencia como las anteriores comenzando con el número 5.