Momentos de esta propuesta:

1. 1Angulos de tiro en el fútbol
2. 2La geometría de la pelota de fútbol
3. 3Tablas de posiciones y puntajes
4. 4Cuadro de torneos
5. 5Capacidad de estadios de fútbol
6. 6Dimensiones del campo de juego
7. 7Potencias de 2

 

Potencias de 2

En muchos torneos, como en la Copa del Mundo, compiten 32 equipos de los cuales 16 llegan a octavos de final, 8 pasan a cuartos, 4 a la semifinal y solo 2 a la final, de la cual sale el único campeón (1).

Todos estos números son potencias de 2.

 

| Actividad 1

✍️ Para resolver como puedas

a) Mirá la tabla y completá las potencias de 2

Deslizar en sentido lateral para ver todo el contenido en celulares.

b) Observá y anotá en qué número terminan los resultados de las potencias de 2.

c) ¿En qué cifra terminan las potencias de exponente par?

d) ¿En qué cifra terminan las potencias de exponente impar?

e) ¿En qué cifra terminan los resultados de las potencias de exponente múltiplo de cuatro?

f) ¿En qué cifra terminan los resultados de las potencias de exponente par que no son múltiplos de cuatro?

g) Teniendo en cuenta tus conclusiones anteriores, ¿en qué cifra terminan?:

• 248  termina en ____

• 2100  termina en ____

• 2102  termina en ____

h) ¿Cómo completarías los espacios hacia la izquierda?

Describí qué ocurre con los exponentes de 2 y con las potencias de 2 a medida que nos acercamos a la izquierda.

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Los matemáticos llaman a este procedimiento extensión para definir así las potencias de exponente 1; 0; -1; -2...

Así tendremos

21 = 2

 

20  = 1

2-1 = 1/2

2-2 = 1/4

2-3 = 1/8

A continuación, dejamos espacio para que hagas comentarios sobre esta tarea: qué pudiste descubrir, cómo te sentiste al responder las consignas, y todo lo que se te ocurra. Si tuviste dificultades, te pedimos que las anotes; tal vez encuentres las respuestas más adelante por vos misma o mismo o puedas comentarlas con tu profesora o profesor en algún momento.

✍️| Actividad 2

a) Mirá la tabla y completá las potencias de 3.

Deslizar en sentido lateral para ver todo el contenido en celulares.

b) Observá y anotá en qué número terminan las potencias de 3.

d) ¿En qué cifra terminan las potencias de exponente par?

e) ¿En qué cifra terminan las potencias de exponente impar?

f) ¿En qué cifra terminan las potencias de exponente múltiplo de cuatro?

g) ¿En qué cifra terminan las potencias de exponente par que no son múltiplo de cuatro?

h) Teniendo en cuenta tus conclusiones anteriores, ¿en qué cifra terminan?:

•348  termina en ____

• 3100 termina en ____

• 3102 termina en ____

i) ¿Cómo completarías los espacios hacia la izquierda?

Describí qué ocurre con los exponentes de 3 y con las potencias de 3 a medida que nos acercamos a la izquierda.

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Especialistas en matemática llaman a este procedimiento extensión para definir así las potencias de exponente 1; 0; -1; -2...

Así tendremos

31 = 3

30 = 1

3-1 = 1/3

3-2 = 1/9

3-3 = 1/27

Te dejamos espacio para que hagas comentarios sobre cómo te resultó esta tarea luego de haber realizado la anterior.

✍️ | Actividad 3

a) Completá el siguiente cuadro; utilizá la calculadora si la necesitás.

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b) ¿En qué cifra terminan las potencias de 5? ¿y las de 6?

Juego con potencias de dos

Tarjetas para adivinar un número del 1 al 60.

a) Pensá un número entre 1 y 60.

b) Buscá el número pensado en cada una de las siguientes seis tarjetas, marcá las tarjetas donde está el número que pensaste.

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Si, por ejemplo, alguien piensa en el número 17, lo encontrará en la primera tarjeta y en la quinta.

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Si sumamos los números del primer casillero de ambas tarjetas obtendremos el número pensado: 1+16 = 17

c) ¿Qué números son los que figuran en el primer casillero de cada tarjeta?

 

1, 2, 4, 8, 16 y 32... Son los que vimos en la Actividad 1 del apartado “Potencias de 2” como potencias de 2.

La base de este juego de adivinar un número es que todo número puede ser expresado como sumas de potencias de 2.

17 = 1 + 16

25 = 1 + 8 + 16

d) Expresá los siguientes números como suma de potencias de 2.

11= 24= 35=

43= 47= 53=

e) Si una persona piensa en el número 41, ¿en qué tablas lo encontrará? ¿Y el 37?

 

Te sugerimos jugar a adivinar el número con tu familia y amigas y amigos. Recomendá que miren bien cada tarjeta, porque si omiten algunos de los números no se logrará adivinar. Anotá si probaste adivinar el número que pensó otro y escribí cómo te fue y tus opiniones sobre el juego.

 

Cuadrados

✍️ | Actividad 1

a) Mirá los cuadrados para ver cuántos hay en cada uno.

Es fácil visualizar 4 pero hay 5 en total, el grande y cuatro pequeños.

1 + 4

b) En el cuadrado de tres por tres: ¿cuántos tamaños de cuadrados podemos encontrar? ¿Cuántos cuadrados de cada tamaño?

Recordá que hay tres tamaños diferentes.

1 grande, 4 de 2 x 2 y 9 pequeños.

1 + 4 + 9

c) ¿Cuántos tamaños y cuántos de cada tamaño?

d) Dibujá sobre el cuadrado cuántos son los de 3 x 3, anotá y marcá las posiciones de los de 2 x 2 y contá cuántos son.

1 de 4 x 4, 4 de 3 x 3, 9 de 2 x 2 y 16 de 1 x 1.

1 + 4 + 9 + 16

e) Completá la tabla:

 

✍️ | Actividad 2

a) Mirá la siguiente secuencia y continuala completando los espacios en blanco:

1 x 2 = 1 + 12

2 x 3 = 2 + 22

3 x 4 = 3 + 32

4 x 5 = 4 + 42

5 x ....... = 5 + ....... 2

6 x ....... = ....... + .......

....... x ....... =....... + .......

....... x ....... = ....... + .......

n x (n+1) = n + n2

 

Números primos y potencias

Los números primos han sido siempre objeto de interés de especialistas de la matemática a lo largo de los tiempos y aún siguen despertando curiosidad.

Vamos a conocer los números de Mersenne (1588-1648), quien descubrió que algunos números primos pueden expresarse como el anterior o siguiente de una potencia.

3 = 22 - 1

5 = 22 + 1

7 = 23 - 1

31 = 25 - 1

127 = 27 - 1

 

✍️ | Actividad 1

Los números primos y los múltiplos de 6.

Una interesante conjetura es que los números anteriores y siguientes de múltiplos de 6 son números primos. En la siguiente tabla están los múltiplos de 6.

a) Completala y analizá si los anteriores o siguientes son números primos.

b) Indicá, si encontrás, algunos que no lo son. Anotá alguna conclusión sobre la conjetura. Te dejamos la lista de números primos para ver si se cumple la conjetura.

5	6	7
11	12	13
17	18	19
23	24	25
29	30	31
35	36	37
41	42
	48
	54
	60
	66
	72
	78

Cuadro con los números primos hasta el 313.

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✍️ | Actividad 2

a) Observá las potencias de exponente 5 y el último dígito del resultado.

b) Completá los espacios en blanco.

15 = 1

25 = 32

35 = 343

45 = 1024

55 = .......

65 = .......

..... = .......

c) ¿Cuál creés que será el último dígito de 9995?

 

 

✍️ | Actividad 3

a) Mirá los números, completá los espacios de modo que sigan el mismo comportamiento:

b) Anotá con tus palabras alguna observación sobre esta actividad.

Diferencia de cuadrados

Si escribimos tres números consecutivos, se puede observar una relación entre el producto del anterior por el siguiente y el cuadrado del número central.

3 x 5 = 4 x 4 – 1

3 x 5 = 42 – 1

¿Se cumplirá siempre para tres números consecutivos que el producto del primero y el tercero da el número anterior al cuadrado del número central?

7, 8 y 9 7 x 9= 8 x 8 -1 63 = 64 - 1

11, 12 y 13 11 x 13 = 12²  -  1 143 = 144 - 1

20, 21 y 22 20 x 22 = ..... - ..... ..... = .....

 

A continuación, lo vamos a escribir en forma general para cualquier número n.

Si el número es n: ¿cuál es el anterior?, ¿cuál es el siguiente?

Anterior n-1

Número n

Siguiente n+1

 

En este caso n2 -1 = (n-1) (n+1)

Esta expresión se la conoce como diferencia de cuadrados que es igual a una suma por una diferencia.

 

✍️ | Actividad 1

Mirá la siguiente expresión. Si la diferencia entre los números es 2, la diferencia entre sus productos es 4.

a) Si la diferencia entre los números fuese 3, ¿cuál pensás que será la diferencia entre los productos?

b) Si la diferencia entre los productos fuese 16, ¿cúal sería la diferencia entre los números?

 

¡Llegamos al final! En esta carpeta además de los contenidos sobre geometría, porcentajes, características de las potencias, generalizaciones y construcción de fórmulas pudiste trabajar con:

• comportamientos variacionales;

• información presentada por representaciones en diferentes tipos de gráficos;

• lectura dentro y más allá de los datos;

• regularidades que se corresponden con un ordenamiento interno de la matemática;

• diseño y análisis de conjeturas.

 

Muchas gracias por tu trabajo.

✍️ | Actividad integradora

En este espacio podrás escribir qué te aportó esta carpeta. ¿En qué modo te parece que las nociones trabajadas están relacionadas con el lenguaje matemático? ¿Cómo te sentiste durante el trabajo? ¿Cómo evaluarías tu desempeño? Agregá, además, todos los comentarios que quieras escribir sobre cómo vas valorando tu crecimiento en relación con los conocimientos matemáticos.

Es importante que anotes las palabras que te resultaron nuevas, ya que probablemente sean del vocabulario específico de la Matemática, no para memorizarlas sino para que te vayan comenzando a resultar familiares.