Momentos de esta propuesta:

1. 1 Retomar Primer Ciclo.
2. 2Circunferencia y Círculo.
3. 3 Ángulos y Triángulos.
4. 4 Cuadriláteros.

Acerca de la organización del material para estudiantes

El material para estudiantes “Parte 2: Circunferencia y Círculo”¹ está organizado en diferentes apartados que contienen grupos de problemas sobre diferentes recortes del tema. Los títulos de cada apartado anticipan los contenidos o tipo de trabajo propuesto a las y los estudiantes, por ejemplo, “Problemas de puntos y distancias” o “Problemas con figuras circulares”. Estos problemas se proponen para resolver individualmente o, si la o el docente lo considera pertinente, para resolver en parejas. Luego de las resoluciones individuales o en parejas será interesante coordinar momentos de intercambio colectivo en los que sea posible difundir y analizar estrategias, soluciones, errores, conclusiones, etc. Se ha agregado, al inicio del documento, un subtítulo en letra itálica que informa cuáles son los instrumentos geométricos que será necesario tener disponibles para resolver los problemas de los diferentes apartados. Al habilitar o restringir el uso de determinados instrumentos geométricos se busca complejizar o facilitar la resolución de cada problema. Se trata entonces de una de las variables didácticas que las y los docentes podrán considerar para acompañar la diversidad de conocimientos presentes en el aula; incluso, proponiendo el uso de distintos instrumentos a diferentes grupos de estudiantes de manera simultánea. Al mencionar regla no graduada nos referimos a cualquier objeto que permita trazar líneas rectas sin que sea relevante la graduación en cualquier unidad de medida, en particular puede tratarse de la parte de la regla común que no tiene los números indicadores de centímetros, es decir la parte sin la graduación. Dado que la denominación “regla no graduada” podría ser nueva para las chicas y los chicos, será necesario aclararles qué es y para qué la utilizamos.

Al igual que venimos proponiendo en otros materiales, incluimos instancias de reflexión sobre lo realizado. Estas situaciones plantean un retorno sobre los problemas matemáticos y sobre los diversos procedimientos desplegados para resolverlos, entendiendo que detenerse y volver atrás es fundamental para avanzar, porque los conocimientos movilizados durante la resolución suelen funcionar de manera implícita y podrían permanecer en ese estado de no mediar situaciones que requieran su explicitación. Entre estas instancias de reflexión pueden encontrar las siguientes: “Para revisar y resolver” y “Para seguir pensando”. La primera instancia propone la reflexión, el análisis y/o el registro de lo realizado a propósito de un conjunto de problemas de un mismo apartado; y la segunda presenta nuevos problemas con la intención de poner en juego lo trabajado y aprendido en cada apartado. En ambos casos, los problemas son propuestos para resolver de manera individual, en parejas, en pequeños grupos o entre todas y todos, discutiendo bajo la coordinación de la o el docente y usando el pizarrón o carteles como soportes para el registro. Presentamos a continuación ejemplos de estas instancias:

Para revisar y resolver (pág. 9)

Para seguir pensando (pág. 13)

La escritura de conclusiones está planteada en forma colectiva, sin embargo, en otros momentos podría ser propuesta en parejas o pequeños grupos. Las situaciones en que las y los estudiantes le dictan a su docente las conclusiones para que queden en un cartel o en el pizarrón son buenas oportunidades para revisar las ideas iniciales, profundizar el análisis de las argumentaciones, analizar errores. Es importante que esos registros resulten claros para todas y todos y que puedan reconocer allí aquello que circuló en la clase y que puede ser reutilizado. Esas escrituras podrán ser retomadas y revisadas a medida que se transforman los conocimientos de las y los estudiantes; por lo que será necesario que estén a la vista de todas y todos, por ejemplo, en carteles en el aula o en carpetas o cuadernos.

Incluimos, asimismo, un recuadro con texto y dibujos que podría actuar de ayuda-memoria, toma de notas u orientaciones para el trabajo, bajo el título de “Para recordar”. Se lo propone con doble intención, por un lado recordar algunas características o propiedades ya conocidas de las figuras geométricas involucradas en esta parte y, por otro lado, anticipar algo nuevo que será necesario recordar.

Para recordar (pág. 5)

Será importante que esta información esté disponible durante la resolución de nuevos problemas. A su vez, será interesante que las y los estudiantes vayan construyendo desde el primer día del trabajo geométrico una sección dentro de la carpeta que contenga estas ayuda-memoria, esta información valiosa, sistemáticamente ordenada, para acudir a ella cuando sea necesario; al igual que los registros colectivos mencionados en el párrafo anterior.

La variedad de modalidades de organización también representa un recurso potente para dar lugar a las diversas voces y conocimientos de las y los estudiantes. En ocasiones, es importante reservar un primer acercamiento individual para que cada estudiante tenga un espacio propio para analizar el problema geométrico propuesto, movilice los conocimientos que considere pertinentes y ensaye un primer camino de resolución. En otras, el trabajo individual se plantea al final de un conjunto de clases con la intención de favorecer una mayor autonomía para usar lo que se aprendió luego de un tiempo de estudio. Asimismo, es importante ofrecer momentos de trabajo con otras y otros dada la potencialidad de las interacciones entre pares para la construcción y el avance de los conocimientos.

Sobre el uso de los instrumentos geométricos

Incluimos en algunos apartados y/o problemas el uso de algunos de los instrumentos geométricos que las niñas y los niños deben utilizar para copiar o construir dibujos que representan objetos geométricos. Es central en el Segundo Ciclo analizar el papel que juega la medición dentro de los problemas geométricos. Medir empíricamente siempre implica la presencia de errores, es decir, las mediciones pueden ser más o menos precisas, pero nunca exactas; por tal razón, cualquier argumento basado en mediciones tendrá un componente de aproximación. En cambio, es necesario pasar progresivamente a argumentos basados en propiedades o características de la figura en cuestión y no del dibujo particular realizado. Por ejemplo, si el problema está centrado en la determinación de la distancia entre dos puntos y uno de ellos es el centro de una circunferencia y el otro se encuentra inserto en ella, bastará con recurrir a la noción de radio para responder; sin embargo diferentes chicas y chicos podrían utilizar la regla para medir dicha distancia y, así, incurrir en errores de apreciación. Será necesario explicitar que las mediciones con regla graduada son siempre aproximadas.

A lo largo del Segundo Ciclo, el trabajo con compás, transportador, regla graduada, regla no graduada y escuadra se constituye en un valioso recurso para la enseñanza y el estudio de ciertas propiedades de las figuras. Es necesario, por lo tanto, enseñar a utilizarlos sin perder de vista este propósito. Si bien en los apartados que abordan los problemas con figuras circulares del material para estudiantes no se presentan situaciones “para enseñar a usar el compás”, se espera que las maestras y los maestros destinen un tiempo breve para analizar “cómo se usa”, “cuánto se abre”, “en dónde se pincha”, etc.

Otro aspecto importante a tener en cuenta es el tipo de hoja que se va a usar en la resolución de cada problema geométrico, pues según sea cuadriculada o lisa se colocan en primer plano diferentes propiedades o características de las figuras que se están estudiando. Por ejemplo, al copiar un rectángulo en hoja cuadriculada la o el estudiante se puede desentender de cómo construir ángulos rectos o segmentos paralelos porque eso está ya resuelto en el cuadriculado. Copiar la misma figura en una hoja lisa exige el uso de instrumentos para controlar esos aspectos. Por tal motivo, se constituyen en variables que la o el docente podrá comandar para aquellas y aquellos estudiantes que necesiten una versión más sencilla o más compleja de un problema.

Sobre el contenido y la organización del documento

La propuesta que presentamos en esta oportunidad aborda la enseñanza de las figuras geométricas. Detallamos a continuación los contenidos incluidos:

• Usar el compás para dibujar figuras que contienen circunferencias. Resolver problemas que impliquen construir o copiar figuras con regla y compás.
• Resolver problemas que impliquen identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro.
• Resolver problemas que impliquen identificar al círculo como el conjunto de puntos que están a igual o menor distancia de un centro.

En la misma línea que venimos planteando en los materiales producidos por la Dirección Provincial de Educación Primaria entre 2020 y 2022 (entre los que se encuentran las propuestas de intensificación de la enseñanza), los problemas que se incluyen proponen una progresión y secuenciación que apuntan a movilizar ciertos conocimientos con la intención de generar avances en los aprendizajes. Es importante tener en cuenta, entonces, que las y los estudiantes ingresan a estos contenidos a partir de lo que saben acerca de las figuras geométricas y que han construido tanto dentro de la escuela como fuera de ella. Es posible entonces anticipar que los procedimientos iniciales de copiado y construcción de figuras que las niñas y los niños desplieguen tendrán un fuerte anclaje en los conocimientos que han elaborado al resolver otros problemas similares. Cada docente podrá reconocer que para algunas y algunos estudiantes no será necesario detenerse por mucho tiempo en esas propuestas menos complejas dado que las resuelven sin dificultad. Sin embargo, es posible que para otras y otros estudiantes sea preciso destinar un poco más de tiempo a estudiar aquello con lo que no han tenido oportunidades suficientes de interactuar en años anteriores, para que la producción de nuevos conocimientos les permitan ingresar al mundo de los problemas geométricos.

En el material para estudiantes se encuentran los siguientes apartados que dialogan con los contenidos que se enseñan en segundo ciclo y que fueron mencionados en la página anterior:

• En los apartados Problemas de puntos y distancias se apunta al trabajo relacionado con usar el compás para dibujar figuras que contienen circunferencias y resolver problemas que impliquen construir o copiar figuras con regla y compás.
• En los apartados Problemas con figuras circulares, La circunferencia y sus elementos y Nuevos problemas con circunferencias las propuestas giran en torno a resolver problemas que impliquen identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro y resolver problemas que impliquen identificar al círculo como el conjunto de puntos que están a igual o menor distancia de un centro. 

El conjunto de problemas que propone cada apartado contribuye a la construcción y problematización del siguiente. Es así que las situaciones iniciales que se presentan en cada caso, habilitan el uso de los conocimientos que las niñas y los niños puedan tener disponibles a partir de lo movilizado anteriormente.

A continuación, presentaremos algunas orientaciones didácticas para apartados individuales.

Orientaciones didácticas

En el apartado Problemas de puntos y distancias (pág. 2) se proponen situaciones en las que es necesario determinar conjuntos de puntos que cumplen cierta condición: la de estar a una distancia dada respecto de un punto. Es probable que no resulte tan sencillo admitir la posibilidad de que haya más de un punto que cumpla con esa condición. Esta cuestión ocupará un lugar central en el trabajo que se propone.

Se trata de un trabajo inicialmente exploratorio, que no demanda necesariamente el uso del compás para resolver los primeros problemas; aunque se espera que se problematice la pertinencia o no del uso de la regla; incluso cuando las niñas y los niños la usan como compás: marcan un punto, mueven la regla, marcan un nuevo punto, etc. Esta práctica y su análisis pueden colaborar en la comprensión del uso del compás y la noción de distancia entre puntos. El carácter exploratorio de estas primeras situaciones también radica en que no es necesario definir radio, centro o diámetro para avanzar en su resolución. Estas definiciones se introducen en el recuadro Para recordar (pág. 5), que busca promover la discusión sobre la resolución de los problemas precedentes, incluida la instancia de reflexión Para revisar y resolver (pág. 6).

Las definiciones que allí se incluyen hacen referencia al diámetro y al radio en términos de distancias, aunque en las imágenes suelen marcarse mediante segmentos.

En el siguiente apartado, Problemas con figuras circulares (pág. 5), se ofrecen situaciones en las que será necesario un compás para resolver, en algunos problemas se pide explícitamente y en otros se deja a criterio de quien resuelve usarlo o no. Como mencionamos anteriormente, es posible que se requiera que cada docente destine un tiempo breve para que su grupo de estudiantes conozca este instrumento y cómo se usa.

El problema 1 (pág. 5) apunta a poner en funcionamiento una primera idea sobre centro y radio, ya que las y los estudiantes deberán decidir dónde pinchar con el compás y cuánto deben abrirlo para poder copiar la figura. No se espera que expliciten estas ideas de manera espontánea, sin embargo, podría ser motivo de conversaciones grupales refiriéndose a los conceptos volcados en el recuadro con información Para recordar. Por ejemplo, ante la pregunta “¿dónde pinchaste con el compás?”, se podría promover que se llegue a una respuesta como “marqué el centro y allí pinché”; o ante la pregunta “¿cuánto abriste el compás para trazar?”, se podría colaborar para que puedan dar respuestas en torno a “abrí lo mismo que el radio de la circunferencia dibujada”.

El problema 2 (pág. 6-7) demanda construcciones más complejas porque son figuras formadas por más de una circunferencia o semicircunferencia. Si bien no se pide explícitamente el uso del compás, se espera que puedan recurrir a él como una herramienta eficaz para realizar las tareas pedidas. Si bien es probable que durante la resolución las y los estudiantes no se refieran al centro/los centros o al radio/los radios, estos conceptos podrán circular explícitamente al compartir y justificar sus estrategias para reproducir las figuras dadas en un espacio de intercambio colectivo coordinado por la o el docente.

Los dos problemas anteriores tienen como propósito que las y los estudiantes exploren y se familiaricen con el uso del compás y comprendan que es un instrumento geométrico que permite construir puntos a partir de una distancia dada. En particular, se trata de establecer que, en una circunferencia, todos los puntos equidistan del centro.

El problema 3 (pág. 7-8), en su primer ítem, plantea la copia buscando que las niñas y los niños apelen al uso del compás para establecer las relaciones entre ambas circunferencias y entre los centros de ellas y los extremos del segmento que los contiene.

3. a- Copiá la siguiente figura.

Copiar una figura habilita a explorar sus propiedades. Algunas de ellas no son evidentes y las y los estudiantes podrían encontrar ciertos inconvenientes para realizar la tarea propuesta. Por ejemplo, les podría costar reconocer que ambas circunferencias tienen el mismo radio y que las distancias de cada centro a los extremos del segmento deben coincidir con la imagen original. Otra cuestión que puede surgir es el hecho de trazar, en la hoja lisa, el segmento que contiene a los dos centros con una inclinación diferente a la dada en el diagrama original. Se podrá discutir con chicas y chicos si de este modo se puede llegar o no a la copia correcta, ya que puede asegurarse que serán iguales siempre que ambos centros sean puntos de un mismo segmento, que ambos radios sean iguales entre sí e iguales al de la figura original y que la distancia entre los centros y los extremos del segmento coincidan con la original. Será justamente el análisis de estas situaciones lo que permitirá avanzar en el estudio de las propiedades involucradas.

En el conjunto de problemas del apartado La circunferencia y sus elementos (pág. 10) se proponen situaciones en las que las y los estudiantes deben explicitar propiedades de ciertas figuras a propósito de la interpretación de un instructivo para construirla, o bien, deben interpretar las instrucciones para que sea posible dibujarla. La finalidad de estas actividades es que las niñas y los niños puedan analizar las figuras en juego en términos de las relaciones que las caracterizan. Por ejemplo, en los problemas 2 y 3 (págs. 10-11) hay que construir circunferencias dado el centro. Se espera que las niñas y los niños exploren alguna relación entre el diámetro y el radio, recuperando de este modo el contenido del recuadro Para recordar de la pág. 4.

2. Construí una circunferencia de centro en B, de 4 cm de radio.

3. Construí una circunferencia de centro en A, de 4 cm de diámetro.

Se espera que la intervención docente durante la discusión colectiva retome las relaciones de doble o mitad entre ambas distancias. Estas ideas se retoman en los problemas 4 y 5 (págs. 11-12) que tienen como propósito interpretar las descripciones de los dibujos poniendo en juego la relación entre radio y diámetro ya mencionada. Así mismo, se espera que puedan analizar la diferenciación entre circunferencia y círculo planteada en la descripción del problema 5.

Si bien es probable que algunas y algunos estudiantes recurran a la regla graduada o al compás para determinar la igualdad de los radios de las circunferencias “más grandes”, se espera que puedan reconocer que cada una de ellas pasa por el centro de la otra y que esta idea les resulte suficiente en lugar de medir, dado que medir con la regla o con el compás puede conducir a errores. Será necesario entonces conversar acerca de los posibles errores de medición y de la relación mencionada: cada circunferencia pasa por el centro de la otra, por lo tanto, el radio es el mismo.

En la instancia de reflexión Para revisar y resolver (pág. 12) se propone una situación a resolver grupalmente a partir de la cual es posible que algunas niñas y algunos niños adviertan que los dos dibujos a comparar son iguales porque tienen la misma forma. Será pertinente, entonces, poner en discusión si además de la forma es posible asegurar que los tamaños son iguales, pues quedan definidas dos circunferencias con el mismo radio.

En la sección Para seguir pensando (pág. 13) proponemos recuperar lo trabajado en relación a la distancia de un punto a otro. Se busca que, a partir de identificar una semicircunferencia inscripta en un rectángulo, relacionen la medida de los lados con el radio o el diámetro.

Así, por ejemplo, podrían decir que como el punto A se encuentra en la mitad del lado que mide 4 cm entonces el radio de la semicircunferencia será de 2 cm, sin apelar al uso de la regla para medir esa distancia. Se espera que la o el docente promueva el análisis a partir de identificar el radio y, de esa manera, encontrar la relación con los puntos que se encuentran dibujados en el rectángulo. Las chicas y los chicos necesitarán notar que los puntos M y P se encuentran fuera de la semicircunferencia y, en consecuencia, están a mayor distancia del radio de 2 cm. De igual modo, necesitarán reconocer que el punto C, que se encuentra dentro de la semicircunferencia, está a menor distancia del radio. Los puntos R y T, ambos sobre la semicircunferencia, están a igual distancia al punto A, centro de la semicircunferencia, por lo tanto, están a 2 cm de él.

El conjunto de problemas del apartado Nuevos problemas con circunferencias (pág. 14) retoma algunas de las discusiones en torno a los problemas de distancias, el uso del compás como instrumento que mejor se ajusta para realizar construcciones que involucren iguales distancias, las relaciones entre radio y diámetro y la interpretación de instructivos a partir de la descripción de algunas características que no son evidentes para las niñas y los niños. Las maestras y los maestros podrían sistematizar, junto a las y los estudiantes, algunas de las ideas que fueron circulando en torno a estos problemas.

Por ejemplo, el problema 1 (pág. 14) propone la construcción de dos circunferencias bajo la condición de que sus centros se ubiquen sobre la misma recta. Para resolver la tarea las niñas y los niños podrían comenzar por trazar dicha recta, para luego marcar dos puntos cualesquiera de ella, considerarlos los centros y construir las dos circunferencias. Otro camino posible sería comenzar por alguna de las circunferencias, luego trazar un segmento que contenga a su centro para poder seleccionar un punto cualquiera del mismo y usarlo como el centro de la segunda circunferencia. Sin embargo, al utilizar esta segunda estrategia podría suceder que tracen la primera circunferencia y no marquen su centro. En este caso, será interesante conversar acerca de la conveniencia de hacer primero alguna pequeña marca (por ejemplo, una cruz) y luego pinchar en ella con el compás para dibujar la circunferencia requerida. Esta estrategia podría ser considerada no solo para este problema sino para muchos otros en los que luego de trazar la figura se vuelve necesario identificar dónde está su centro. Otra cuestión importante a tener en cuenta es que no se ofrece la medida de los radios de las circunferencias ni otro dato que las caracterice, por lo que podrán dibujar cualquier circunferencia siempre que se respete que el centro de ambas esté sobre una recta, se haya o no trazado inicialmente, incluyendo aquellos casos en los que ambas circunferencias se crucen, se toquen, sea en un punto o en dos. Así también podrían trazar ambas circunferencias considerando el mismo punto como centro dado que esto cumple la condición referida a los centros.

En el problema 2 (pág. 14) se propone la construcción de circunferencias a partir de un instructivo poniendo en juego una vez más la relación diámetro - radio, pero a la vez se muestra como relevante analizar la frase “sea un punto de la circunferencia anterior”. Será necesario conversar acerca del significado de dicha frase luego de ver las producciones de las y los estudiantes, pues es posible que ubiquen el centro B en el espacio interior de la circunferencia, en lugar de hacerlo sobre la misma curva. Es decir, podría suceder que algunas chicas y algunos chicos tomen como B un punto del círculo en lugar de un punto de la circunferencia. La discusión en torno de estas confusiones podría apuntar a retomar la definición de circunferencia como conjunto de puntos que equidistan de un centro, y de círculo, como conjunto de puntos que están a igual o menor distancia de ese centro. Presentamos a continuación, junto a la consigna, una construcción posible que cumple con las condiciones del instructivo dado.

2. Construí una circunferencia con centro en E, de 6 cm de diámetro. Luego construí otra circunferencia de 4 cm de radio cuyo centro sea un punto de la circunferencia anterior.

En el problema 3 (pág. 15) se pone en juego que como los radios son de igual medida entonces algunas distancias pueden anticiparse sin medir. Además, será preciso tener en cuenta que los puntos de intersección entre dos circunferencias pertenecen a ambas a la vez, por lo tanto, cumplen que la distancia al centro de cada una es igual al radio de dicha circunferencia.

3.  En la siguiente figura las tres circunferencias de centro C, R y E tienen radios de la misma medida. Decidí si cada afirmación es verdadera o falsa.

Por ejemplo, el punto E -que es centro de una circunferencia- es una de las intersecciones entre dos de las circunferencias; por lo tanto, E pertenece a ambas a la vez y su distancia a R y C es la medida de los radios correspondientes. Como la consigna dice que los tres radios miden lo mismo, entonces la distancia entre R y E y entre C y E es la misma.

Las chicas y los chicos podrán notar que los puntos M, S y V no son parte de ninguna de las tres circunferencias dado que no se ubican sobre ninguna de las curvas y, a partir de allí, comparar qué distancia es mayor o cuál menor en relación a los radios. Si bien, para resolver este problema podrán apelar al uso de la regla para medir las distancias a comparar, se espera que la o el docente promueva el análisis y la comparación a partir de identificar radios y puntos que pertenecen o no a las circunferencias.

El problema 4 (págs. 15-16) apunta a reflexionar sobre que es posible dar instrucciones diferentes que permitan construir la misma figura: los instructivos 2 y 3 son pertinentes. Además, será interesante conversar con el grupo acerca de la orientación de los gráficos que resultan de cada instructivo respecto a los bordes de la hoja, pues podría suceder que algunas chicas o algunos chicos duden que pueda realizarse una construcción igual a la dada porque no se indica hacia qué lado hay que ir trazando las partes mencionadas. En la misma línea de lo que veníamos mencionando, el problema 5 (pág. 17) admitiría instructivos distintos y sería interesante reflexionar sobre las similitudes y diferencias entre ellos.

En este documento hemos intentado acompañar el análisis de los problemas del material para estudiantes. Esperamos que su lectura constituya un aporte para la planificación y la coordinación de las clases.

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¹ Para conocer más sobre el enfoque didáctico que sostiene esta propuesta remitirse a la Parte 1 de esta misma colección: “Retomar Primer Ciclo. Propuestas didácticas para el estudio de la Geometría en Segundo Ciclo. Material para docentes”.