Momentos de esta propuesta:

1. 1Curiosidades numéricas
2. 2 Diagramas que se expanden
3. 3Espirales
4. 4Grafos
5. 5Lectura de gráficos
6. 6Lugar geométrico

 

Sobre Espirales

Espiral de Ulam

Esta disposición en espiral fue diseñada por el matemático polaco Stanislaw Ulam, quien en 1963 –durante una conferencia poco interesante– escribió los números naturales en espiral y señaló los números primos. Con sorpresa descubrió que se ubicaban en su mayoría en algunas diagonales. Ulam, en pleno siglo XX, seguía creyendo en regularidades no descubiertas, esperando que alguien las intuya.

✍️| Actividad 1

a) Marcá los segmentos que continúan en la espiral.

b) Pintá en el esquema espiral anterior los números primos.

✍️| Actividad 2

Teniendo en cuenta la fórmula n² + n + 17, mostrá que para n = 0, n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 y n = 5 se obtienen números primos.

✍️| Actividad 3

Señalá los números cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, 36…) y anotá tus conclusiones sobre su ubicación.

Espiral de números primos

✍️| Actividad 4

La siguiente es una espiral lograda por construcción de semicircunferencias.

Construí con un compás las dos semicircunferencias que siguen (si no tenés hacelo a pulso con la mayor precisión posible)

b) ¿Podés hacer alguna conjetura acerca de la medida de los diámetros de las semicircunferencias?

Espiral de raíces cuadradas

Sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos de valor 1 es por la propiedad de Pitágoras: H² = 1² + 1²  →  H = √2

Del mismo modo, el triángulo de catetos √2 y 1 tendrá por hipotenusa:

H² =  √2 ² + 1² ; H² = 3 →  H =  √3

Estos números pueden representarse también como la espiral siguiente:

Imagen tomada de Free PGN.

Algunos números, como los números cuadrados 1, 4, 9, 16, etc. tienen raíz cuadrada exacta.

Los otros tienen como raíz cuadrada números de infinitas cifras que no pueden ser expresados como fracción, se llaman números irracionales, como π = 3,141592653... donde siempre hay otro después de la última cifra escrita, es decir tiene infinitas cifras. 

 

El número irracional π ya lo utilizaban los babilonios para calcular la longitud de la circunferencia. 

El número de oro y la espiral de Fibonacci 

El número de oro es un número irracional representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

Φ = (1 + √5 ) / 2

El número Φ ya era conocido por los pitagóricos que lo habían obtenido por la razón o cociente entre la diagonal y el lado del pentágono regular.

 

También hay rectángulos que representan el número de oro como las tarjetas de crédito y las hojas de papel A0, A1, A2, A3, A4… muestran una armonía de la razón áurea del número de oro.

En estos rectángulos la razón (cociente) entre ambos lados, ancho y alto es el número Φ.

Este número, y la idea de proporción áurea, ha inspirado a muchos pintores y escultores de todos los tiempos. Tal es el caso de Leonardo Da Vinci quien concedía mucha importancia a la relación entre la estética y la matemática.

Imagen tomada de Free PGN.

 

La forma de esta curva no se altera cuando cambia su tamaño, tanto cuando aumenta o disminuya su tamaño. Esta propiedad se llama autosimilitud.