1. Sucesiones y Series
Secuencia de sucesiones. Regla de formación.
Creado: 3 junio, 2021 | Actualizado: 4 de septiembre, 2023
Momentos de esta propuesta:
- 1Sucesiones y Series
- 2Secuencias generadas por figuras
- 3 Sucesiones en el plano cartesiano
- 4Sucesión de Fibonacci
- 5Series
- 6Fractales
- 7Fractales en 3 D
¿Pensamos juntos?
Escribimos esta carpeta para que tengas la oportunidad de desarrollar tu intuición matemática, encontrar y comprender relaciones interesantes en la trama y la tela de los números y las figuras.
Te proponemos que disfrutes de la tarea teniendo en cuenta que no necesitarás recurrir a la memoria. Tampoco esperamos que llegues rápidamente a una respuesta o solución, solo que vayas pensando en lo planteado. Es más importante la comprensión que la rapidez.
A veces, es bueno continuar leyendo y luego volver atrás para ver si se te ocurre algo más después de leer. Sabemos que vas a poder trabajar con autonomía y que, leyendo, podrás acercarte al sentido de los temas que abordaremos.
Aprender es la capacidad de iniciar, organizar y sostener el propio aprendizaje movilizando el esfuerzo en forma sostenida. Te manifestamos nuestra fuerte confianza en tus habilidades para aprender temas matemáticos. Sabemos de tu potencial, ya que todas y todos lo tenemos, por eso te proponemos un contenido ambicioso y accesible.
A partir de cada tarea, podrás vivenciar tus avances, escribir y explicar con tus palabras lo hecho para mostrar que comprendiste el tema y mantuviste el hilo de lo que vas anticipando.
En nuestra sociedad abunda la información cifrada y las y los estudiantes de secundaria son "naturalmente" analistas de regularidades, conjeturas y creadoras y creadores de ideas. Esta es justamente la esencia de la labor matemática.
¿Y en qué consiste el quehacer matemático? El quehacer matemático implica buscar patrones y regularidades a partir de la observación, el análisis y la reflexión. Es –esencialmente– creatividad y construcción de sentido al analizar diferentes formas de mirar un problema y hacer representaciones sobre él.
Todas y todos pueden aprender al más alto nivel de profundidad. El manejo y la comprensión de gráficos y representaciones –por ejemplo– nos permiten dejar de ser vulnerables frente a las tentativas de manipulación.
Es importante que puedas encontrar conexiones y comunicarlas para lo cual las preguntas son importantes y los errores bienvenidos, analizados y puestos en debate. Si no tenés con quién resolver dudas, te pedimos que las anotes para compartirlas con tu docente, cuando vuelvas a encontrarla o encontrarlo.
Abordaremos los temas con carácter intuitivo e informal pero no por eso con menos rigor. Interactuar con este material te posibilitará encontrar estrategias para construir –sin dificultades– saberes con eficiencia.
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La Matemática importante transcurre en el proceso de búsqueda de respuestas.
Miguel Walsh
El matemático argentino Miguel Walsh, de 33 años, nació en 1987 en Buenos Aires. Actualmente, investiga la teoría de números. Ganó el premio Ramanujan y el premio Clay, es el profesional más joven que ha recibido ambos premios. Vive actualmente en el Reino Unido y trabaja en la Universidad de Oxford.
Imagen tomada de Clay Mathematics Institute (CMI).
A menudo manifiesta que, en el secundario, Matemática era la materia que menos le gustaba.
El amor a primera vista de Walsh con la Matemática se produjo casi por casualidad, siempre le gustaron las tareas que tuvieran algún grado de creatividad. Relata que a pesar de que no le atraía la materia, cerca del final del secundario, navegando por internet, tuvo la suerte de cruzarse con problemas abiertos y aún no resueltos y fue entonces que se dio cuenta de que la Matemática era algo diametralmente opuesto a lo que pensaba que era y que en realidad ofrece mucho espacio para crear.
Obtuvo su licenciatura en Matemática en la Universidad de Buenos Aires en tres años y medio, y completó su doctorado en dos años y medio. Siempre destacó en las entrevistas que la velocidad con la que completó sus estudios estuvo vinculada a su deseo de dedicarse prontamente a investigar problemas no resueltos a lo largo de la historia.
📚En el recuadro anterior pudiste leer que Miguel Walsh expresó que Matemática era la materia que menos le gustaba en el secundario, pero luego desarrolló una importante labor profesional en torno a la misma. Te proponemos que escribas lo que pensás sobre esto.
Sucesiones y series
En el lenguaje coloquial, la palabra sucesión se utiliza para designar un conjunto de objetos o sucesos dispuestos en orden. En Matemática tiene un sentido análogo ya que una sucesión de números tiene asignado un número entero positivo de modo que podemos hablar del primer término, del segundo y el tercero, y así sucesivamente.
Los ejemplos más corrientes de sucesiones se pueden construir dando alguna regla o fórmula que la defina, o con un conjunto de instrucciones que indican cómo se obtiene un término a partir de los anteriores. Esta regla debe ser muy clara, como vemos a continuación.
Esta secuencia estaría formada por los números: 2, 4, 6, 8, 10, 12,...
📚 | Actividad 1
✍️Para resolver como puedas
a) Completá, teniendo en cuenta este ejemplo, los cinco números siguientes:
Esta sucesión es: 8, 16, 24, 32, ........, ........, ........, ........, ........
b) Observá y hacé conjeturas sobre cómo se generaron los números y cómo podemos pasar de un término al siguiente.
📚 | Actividad 2
¿Qué número seguiría en cada caso? Podés escribir con tus palabras lo que observás en cada una de las tiras de la imagen.
📚 | Actividad 3
A esta secuencia la podemos escribir y continuar de acuerdo a la regla 2, 4, 6, 8, 10,...
a) Completá los siguientes tres términos:
8, 16, 24, 32, ......., ........, ........
b) ¿Qué relación hay entre cada número y su anterior?
*
Cuando en una sucesión cada término se obtiene sumando al anterior un mismo número, a la sucesión se la llama progresión aritmética y al número que se suma se lo denomina razón y se lo representa con la letra r.
📚 | Actividad 4
a) Escribí los primeros diez términos de la sucesión:
4, 6, ......., ........, ........, ......., ........, ........, ......., ........, ........, .......
b) Anotá con tus palabras y con números las semejanzas y diferencias entre las representaciones de estas dos últimas imágenes de las progresiones aritméticas.
📚 | Actividad 5
¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas?
Indicá en cada caso a la razón r, si son progresiones aritméticas.
a) 1, 6, 11, 16, 21, 27, ........
b) -3, 1, 5, 9, 13, 17, ........
c) 6, 3, 0, -3, -6, -9, ........
d) 1, 4, 16, 64, 256, ........
e) ½, 1, 1 ½, 2, 2 ½, 3, 3 ½, 4, 4 ½
f) 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, ........
¿Qué podés observar en la sucesión d)? ¿Y en la f)?
📚 | Actividad 6
Analizá la siguiente secuencia.
a) Escribila y completá los tres términos que siguen.
b) ¿Cuál es la regla de formación?
c) ¿Hay algún método para obtener un término a partir del anterior?
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Cuando en una sucesión se observa que cada término se obtiene multiplicando al anterior por un número, se trata de una progresión geométrica y al número también se lo llama razón.
1, 4, 16, 64, 256,... es una progresión geométrica de razón 4.
📚 | Actividad 7
✍️ Para resolver como puedas
Para esta actividad podés usar una calculadora si tenés y lo creés conveniente. El objetivo no es hacer cuentas sino analizar el funcionamiento crecimiento, decrecimiento, positividad, oscilancia, variación y tendencia de los números y su relación con la razón.
a) Hallá la razón r en cada una de las siguientes progresiones geométricas.
2, 10, 50, 250, 1250, ........ r =
3, -6, 12, -24, 48, ........ r =
7, 70, 700, 7000, 70000, ........ r =
1/3, 1/9, 1/27, 1/81, 1/243, 1/729 r =
0, 2 ; 1 ; 5 ; 25 ; ....... r =
b) Anotá tus observaciones sobre el comportamiento de las sucesiones.
Las reglas nos permiten hallar la expresión de los términos, entre ellos el término n que se lo llama enésimo y se lo designa como:
📚 | Actividad 8
a) ¿Cuál es en la siguiente sucesión?
b) Completá la secuencia para estas leyes:
3, ........, ........, ........, 
2, ........, ........, ........, ........, = 3n-1
📚 | Actividad 9
¿Cuál es la regla?
a) Encontrá el enésimo término si no está explicitado.
b) Cuando sea necesario, completá la propiedad con palabras.
c) Completá tres términos en cada caso.
| Sucesión | Propiedad | n-ésimo término an |
| 2, 4, 6, 8, 10, ...., ...., ...., .... | múltiplos de dos | an=2n |
| 3, 6, 9, 12, 15, ...., ...., ...., .... | múltiplos de tres | an= ......... |
| 5, 10, 15, 20, 25, ...., ...., ...., .... | múltiplo de ...... | an= ......... |
| 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, .... | números cuadrados | an=n2 |
| 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, .... | anterior del ........ | an=n2-1..... |
| 1, 8, 27, 64, ...., .... | cubo del número | an= ......... |
| 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...., ...., .... | números impares | an= 2n-1 |
| ...., ...., ...., ...., ...., .... | triple más dos | an= 3n-2 |
| ...., 3/2, ...., ...., .... | mitad del siguiente | an= (n+1)/2 |
| 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, .... | an= 1/2 n | |
| 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, .... | an= 1/2 n-1 | |
| 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, .... | an= | |
| 1, ...., ...., ...., .... | an= 1/3 n-1 |
Imagen de portada: Pixabay
Agradecimientos
Gracias a quienes colaboraron con esta tarea y compartieron sus obras desde la más absoluta generosidad y el compromiso con la educación:
Susana Lange, Augusto de Campos, Mario Lavista, herederos de Esteban Peicovich, Roberto Chavero, Charly García, Universal Music, Agencia literaria Schavelzon Graham, Luis Pazos, Lucía Delfino, Carolina Donnantuoni, Jazmín García Saticq, Melisa Paruchevski, Hernán La Greca, Heredera de Francisco Solano López, herederos de Héctor Oesterherld, Grupo Editorial Penguin Random House, Rubén Eduardo Goldín, Editorial Losada, Silvina Salinas, Diario La Vanguardia (México), Sylvia Iparraguirre, heredera de Abelardo Castillo, Editorial Siglo XXI, Diego Enrique Pérez - Nación Ekeko, María Paz Ferreira (Miss Bolivia), Guillermo Beresñak, León Gieco, Grupo Dharma, Javier Roldán, Fundación Pablo Neruda, Agencia Literaria Carmen Balcells y Gloria Martin.
Disclaimer
Esta carpeta fue elaborada por la Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires con fines educativos. Se entrega en forma gratuita. Prohibida su comercialización.